Ánh xạ là gì

     

Trong toán học, ánh xạ là tổng quan của khái niệm hàm số, trong đó tập nguồn với tập đích không tốt nhất thiết buộc phải là tập số thực hay tập con của tập số thực.

Bạn đang xem: ánh xạ là gì

<1>

Giải tích phứcSố phứcHàm số phứcLý thuyết cơ bảnNhân vật
Giải tích toán học → Giải tích phức
*

Bài này chỉ viết về những ánh xạ solo trị.

Định nghĩa về ánh xạ

Một ánh xạ f từ bỏ một tập hợp X vào trong 1 tập thích hợp Y (ký hiệu displaystyle f:X o Y) là một trong quy tắc mang đến mỗi thành phần x displaystyle in  X tương ứng với 1 phần tử xác minh y displaystyle in  Y, thành phần y được hotline là ảnh của thành phần x, ký kết hiệu displaystyle y=f(x)

*
,<2> nghĩa là displaystyle forall xin X,exists !yin Y,y=f(x)
*
.

Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.<2>

Với mỗi displaystyle yin Y, tập bé của X gồm các phần tử, có hình ảnh qua ánh xạ f bằng y, được hotline là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là displaystyle f^-1(y)

*
. Ta códisplaystyle f^-1(y)=xin X
*
.<3>

Với từng tập con displaystyle Asubset X

*
, tập con của Y tất cả các bộ phận là ảnh của displaystyle xin A
*
 qua ánh xạ f được call là ảnh của tập A ký kết hiệu là f(A). Ta códisplaystyle f(A)=xin A
*
.<3>

Với mỗi tập con displaystyle Bsubset Y

*
, tập con của X gồm các phần tử x bao gồm ảnh displaystyle f(x)in B
*
 được hotline là tạo ảnh của tập B ký kết hiệu là displaystyle f^-1(B)
*
. Ta códisplaystyle f^-1(B)=xin X
*
.<3>

Trong đối sánh với khái niệm quan hệ, ta cũng hoàn toàn có thể định nghĩa:

Một ánh xạ displaystyle mathcal F từ tập X vào tập Y là 1 quan hệ displaystyle mathcal F từ X vào Y bằng lòng điều kiện: những phần tử displaystyle xin X đều gồm quan hệ displaystyle mathcal F với một với chỉ 1 phần tử displaystyle yin Y.

Vài tính chất cơ bản

Ảnh của một tập phù hợp rỗng là một tập đúng theo rỗngdisplaystyle A=emptyset ,Leftrightarrow f(A)=emptyset
*
Ảnh của tập hợp nhỏ là tập hợp bé của ảnhdisplaystyle Asubset B
*
displaystyle Rightarrow f(A)subset f(B)
*
Ảnh của phần giao bên trong giao của phần ảnhdisplaystyle f(Acap B)subset f(A)cap f(B)
*
Ảnh của phần hợp là hợp của những phần ảnhdisplaystyle f(Acup B)=f(A)cup f(B)
*

Toàn ánh, đơn ánh và tuy nhiên ánh


*

Toàn ánh là ánh xạ từ bỏ X vào Y vào đó ảnh của X là toàn thể tập phù hợp Y. Khi ấy người ta cũng call f là ánh xạ trường đoản cú X lên Y<4>displaystyle f(X)=Y
*
haydisplaystyle forall yin Y,exists xin X:f(x)=y
*
Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau vào Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ đối chọi vì đặc thù này.<5>displaystyle forall x_1,x_2in X:x_1 eq x_2Rightarrow f(x_1) eq f(x_2)
*
haydisplaystyle forall x_1,x_2in X:f(x_1)=f(x_2)Rightarrow x_1=x_2
*
Song ánh là ánh xạ vừa là solo ánh, vừa là toàn ánh. Tuy nhiên ánh vừa là ánh xạ solo và vừa là ánh xạ “onto” (từ X lên Y).<4>
Có thể bạn thân thương Felspat là gì? cụ thể về Felspat mới nhất 2021

Một số ánh xạ quánh biệt

Ánh xạ ko đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ bỏ X vào Y làm sao cho mọi phần tử x displaystyle in  X đều cho ảnh tại một trong những phần tử duy nhất displaystyle y_0
*
 displaystyle in  Y.

Xem thêm: Dạy Bé Học Vẽ Tranh Cấm Hút Thuốc Lá Đơn Giản Mà Đẹp, Vẽ Tranh Cấm Hút Thuốc Lá Đẹp Đơn Giản, Ý Nghĩa

Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ trường đoản cú X vào chính X sao cho với mọi thành phần x vào X, ta tất cả f(x)=x.<5>Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f trường đoản cú tập con displaystyle Xsubset Y
*
 vào Y mang lại f(x)= x với mọi displaystyle xin X (cũng được gọi là đơn ánh thiết yếu tắc).<5> Khi đó ta cam kết hiệu f: X displaystyle hookrightarrow
*
 Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu displaystyle f:X o Y là 1-1 ánh, khi xem f chỉ cần ánh xạ từ bỏ X vào tập con displaystyle f(X)subset Y, f đã là tuy vậy ánh. Lúc đó ta có khớp ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay nuốm các bộ phận của tập con displaystyle f(X)subset Y bằng các bộ phận của tập X. Bài toán này được call là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.

Các phép toán

Ánh xạ hợp


Bài đưa ra tiết: Hàm hợp

Cho nhì ánh xạ displaystyle f:X o Y và displaystyle g:Y o Z

*
. Thích hợp của nhì ánh xạ f, g, cam kết hiệu là displaystyle gcirc f
*
 là ánh xạ tự X vào Z, xác định bởi đẳng thức displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))
*
 (cũng được call là tích ánh xạ của f với g).<4>

Một số đặc thù của ánh xạ hợp

Nếu displaystyle (gcirc f) là 1-1 ánh thì f là đơn ánh.Nếu displaystyle (gcirc f) là toàn ánh thì g là toàn ánh.Nếu displaystyle (gcirc f) là tuy nhiên ánh thì f và g hầu như là tuy vậy ánh.

Ánh xạ nghịch đảo

Cho ánh xạ displaystyle f:X o Ylà tuy vậy ánh. Ví như tồn trên ánh xạ displaystyle g:Y o X

*
 sao cho

displaystyle forall xin X:(gcirc f)(x)=x

*

displaystyle forall yin Y:(fcirc g)(y)=y

*

thì g được gọi là nghịch đảo, giỏi ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là displaystyle f^-1.

Ánh xạ f có nghịch hòn đảo khi và chỉ còn khi f là tuy nhiên ánh.

Ánh xạ thu hẹp

Cho ánh xạ displaystyle f:X o Y và một tập con displaystyle Esubset X

*
. Ánh xạ thu khiêm tốn của displaystyle f về displaystyle E là một ánh xạ từ displaystyle E vào displaystyle Y, ký hiệu displaystyle f
*
, khẳng định bởi đẳng thức _E(x)=f(x)
*
.<7> Ánh xạ thu nhỏ nhắn là duy nhất.

Xem thêm: Thạch Nữ Là Gì ? : Nguyên Nhân, Biểu Hiện Và Cách Điều Trị 'Thạch Nữ' Và Những Nỗi Niềm Khó Nói

Ánh xạ mở rộng

Cho ánh xạ displaystyle f:X o Y và một tập hợp displaystyle F sao cho displaystyle Xsubset F

*
. Một ánh xạ mở rộng của displaystyle f tới displaystyle F là một ánh xạ displaystyle ilde f
*
 từ displaystyle F vào displaystyle Y sao cho displaystyle forall xin X: ilde f(x)=f(x)
*
.7> Nói chung, với từng ánh xạ đang cho, có khá nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.

Các khái niệm ánh xạ không giống (dịch từ tiếng Anh)

Ánh xạ xạ ảnhCanonical map Ánh xạ thiết yếu tắcClassifying map Ánh xạ phân loạiÁnh xạ bảo giác: ánh xạ bảo toàn độ lớn của các góc, nghĩa là góc giữa các tiếp tuyến với hai đường cong bất kì (tại giao điểm của chúng) bởi góc giữa các tiếp tuyến đường với các hình ảnh của hai tuyến đường đó (tại giao điểm tương ứng). Một hàm song chỉnh hình là một ánh xạ bảo giác.Ánh xạ ko đổiÁnh xạ tiếp lênÁnh xạ liên tục:Ánh xạ f từ x displaystyle in  X lên Y sao cho với mỗi lân cận W của f(x) phần lớn tồn tại cạnh bên V của x trong X (V displaystyle subset  X) làm sao để cho f(V) displaystyle subset  W được hotline là ánh xạ liên tiếp tại x lên YÁnh xạ Y = f(X) được hotline là ánh xạ thường xuyên từ X vào Y ví như nó liên tiếp với đều x displaystyle in  XÁnh xạ đồng phôi: f:X→Y là ánh xạ tuy nhiên ánh, liên tục và ánh xạ ngược displaystyle f^-1 cũng liên tục. Lúc đó X cùng Y được điện thoại tư vấn là nhì không gian, nhị tập hợp đồng phôi hay tương đương đánh pôContour map Phương ánh những đường ở ngangContraction mapping ánh xạ co là ánh xạ của không gian mêtric vào chủ yếu nó, sao cho khoảng cách giữa nhị điểm bất cứ bị giảm đi qua ánh xạ đó. Bạn ta minh chứng rằng, nếu không gian mêtric là đủ thì mỗi ánh xạ co lúc nào cũng bao gồm một và chỉ còn một điểm bất động x, tức là F(x) = x
Equivariant map Ánh xạ đẳng biếnEvaluation map Ánh xạ định giáExcission map Ánh xạ cắtFibre map Ánh xạ phân thớ, ánh xạ các không khí phân thớIdentification map Ánh xạ đồng bộ hoáInclusion map Ánh xạ nhúng chìmInterior map Ánh xạ trongInvolutory map Ánh xạ đối hợpLight map Ánh xạ chuẩn gián đoạn (khắp chỗ có những điểm loại gián đoạn)Lowering map Ánh xạ hạ thấpRegular map Ánh xạ chủ yếu quySimplicial map Ánh xạ solo hìnhTensor map Ánh xạ tenxơAffine mapping Ánh xạ afinAnalytic mapping Ánh xạ giải tíchBicontinuous mapping Ánh xạ tuy vậy liên tụcChain mapping Ánh xạ chuỗi, ánh xạ dây chuyềnClosed mapping Ánh xạ đóng: f:X→Y được call là ánh xạ đóng so với mọi tập A đóng displaystyle in  X đều có f(A) là tập đóng trong YOpen mapping Ánh xạ mở: f:X→Y được hotline là ánh xạ mở nếu với mọi tập A mở displaystyle in  X đều phải có f(A) là tập mở trong YDiferentiable mapping Ánh xạ khả viEpimorphic mapping Ánh xạ toàn hìnhHomomorphous mapping Ánh xạ đồng cấuHomotopic mapping Ánh xạ đồng luânÁnh xạ đẳng cựIsotonic mapping Ánh xạ bảo toàn trang bị tựÁnh xạ tuyến tínhMeromorphic mapping Ánh xạ phân hìnhMonomorphic mapping Ánh xạ 1-1 cấuMonotone mapping Ánh xạ đối chọi điệuNon-alternating mapping Ánh xạ không cố phiênNorm-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chuẩnOne-to-one mapping Ánh xạ một-một, nhị chiều, (song ánh)Perturbation mapping Ánh xạ lệchPreclosed mapping Ánh xạ chi phí đóngPseudoconformal mapping Ánh xạ trả bảo giácQuasi-conformal mapping Ánh xạ tựa bảo giácQuasi-open mapping Ánh xạ tựa mởRational mapping Ánh xạ hữu tỷSense-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chiềuSlit mapping Ánh xạ lên miền bao gồm lát cắt trongStarlike mapping Ánh xạ hình saoSymplectic mapping Ánh xạ đối ngẫu ximplecticTopological mapping Ánh xạ tô pôUnivalent mapping Ánh xạ solo diệp
^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 12^ a b Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 11^ a b c Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 13^ a b c Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 15^ a b c Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 14^ Hoàng Xuân Sính (1972), Định lí 5, tr. 16^ a b Hoàng Xuân Sính (1972), tr.17
Mapping (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần đồ vật tám), 1972, nhà xuất bạn dạng Giáo dụcCác nhà đề thiết yếu trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học tập rời rạc | Toán học ứng dụng |Toán học giải trí | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê

Ngôn ngữ hình thứcFormation ruleHệ hình thứcHệ suy luậnChứng minh hình thứcNgữ nghĩa hiệ tượng (logic)Well-formed formulaTập hợpPhần tử (toán học)Lớp (lý thuyết tập hợp)Classical logicTiên đềNatural deductionRule of inferenceQuan hệ (toán học)Định lý toán họcLogical consequenceHệ tiên đềLý thuyết hình tháiSymbol (formal)Syntax (logic)Lý thuyết (logic toán)
Tập hợpTập hòa hợp rỗngEnumerationExtensionalityTập vừa lòng hữu hạnTập thích hợp vô hạnTập hòa hợp conTập lũy thừaTập hòa hợp đếm đượcTập hòa hợp không đếm đượcRecursive setTập xác địnhRange (mathematics)Ánh xạHàm sốPhép toán nhị ngôiCặp được sắp
Foundations of mathematicsLý thuyết tập vừa lòng Zermelo–FraenkelTiên đề chọnGeneral mix theoryKripke–Platek set theoryVon Neumann–Bernays–Gödel set theoryMorse–Kelley phối theoryTarski–Grothendieck phối theory
Formal proofDeductive systemHệ hình thứcĐịnh lý toán họcLogical consequenceRule of inferenceSyntax (logic)
RecursionRecursive setRecursively enumerable setDecision problemChurch–Turing thesisComputable functionPrimitive recursive function